秦元勋

秦元勋(1923-2008)
秦元勋，1923年2月13日出生于贵州省贵阳市。1943年毕业于浙江大学数学系，1947年获美国哈佛大学哲学博士学位。1948年回国。历任西南军政委员会文教部调研室副主任、科学普及处处长，中国科学院数学研究所研究员，中国核工业部九院理论部副主任，中科院应用数学研究所研究员、副所长，黄河大学首任校长，中国核学会计算物理学会理事长，中国人工智能学会理事长。
长期从事数学理论及其应用的研究。在常微分方程的定性理论、运动稳定性、近似解析解、机器推导公式等方面的研究，在中国处于开创的地位。其中极限环的研究，具有国际先进水平。负责完成了中国第一颗原子弹和氢弹的威力计算工作。是1982年国家自然科学奖一等奖的原子弹氢弹设计原理中的物理力学数学理论问题项目的主要工作者之一。在上述工作的基础上，开辟了计算物理学这一新的分支学科。发表论文九十余篇。

数学家秦元勋的传奇人生和主要学术成就
张锁春
秦元勋出生在贵州省贵阳市，其父秦学仁是从事小本经营的工商业者。他自幼天资聪明过人、加上刻苦勤奋，在当地冠有“神童”之美名。高中只读一年半，16岁就进了浙江大学数学系。1939至1943年大学期间，接受严格的科班训练。其优异的成绩得到当时浙大校长竺可桢高度的赏识和评价。竺校长的日记中就有这样记载：(1)1943年7月2日记：“阅本届毕业生共311人，…，其中平均成绩在85分以上有…数学系秦元勋87.2，贵阳人，…共七人而巳。”(2)7月11日记：“…秦为贵阳人，本届毕业生中平均成绩最高之一。其人体格亦佳，而性温厚，洵难得之人材了，…。”当时就享有“难得之人材”这样高的评价。
1943年秦元勋在浙大毕业，获理学学士学位。经过“自费”留学考试，名列榜首。经竺校长的推荐，1945年进美国哈佛大学深造。他仅用五个学期就取得文学硕士(1946)和哲学博士(1947)学位。其速度实在惊人，在哈佛建校史上也是创纪录的。24岁就拿到哈佛博士学位，是哈佛大学最年轻的博士之一，被人称“娃娃博士”。
1947年获哈佛的博士学位后，婉拒恩师留美工作的机会，于1948年踏上回归祖国的征途。回到贵阳后，于同年7月7日与冯敏女士结婚，实现“有情人终成眷属”的宿愿。婚后，夫妻俩就相依为命去香港参加革命工作，投入中国人民的解放斗争。他与曹日昌同志一道筹建香港九龙科学工作者协会，任港九科协业务部副部长(部长是曾昭伦)。1949年香港新华社邀请秦元勋作为港九的三名代表之一，去解放区参加筹备全国第一届科协大会的工作。于同年7月乘海船进入东北解放区再到达北平，除参加筹备和出席大会外，还应聘为北京师范大学数学系的副教授，讲授数学。期间出版《几何学通论》[1]一书，作为对新中国建立的献礼。
1949年10月1日，秦元勋夫妇亲自参加新中国成立的开国大典，站在天安门南边马路的第一排观礼。随后，跟随楚图南所率的二野部队开进刚解放的大西南的重庆，过着供给制生活。到了重庆后，担任西南军政委员会文教部调研室主任、科学普及处处长、社会文化事业管理处处长等职，并当选为全国科普协会的常务委员(1950-1958)。1953年调回北京任中国科学院计划局处长。1954-1959年，因国家发展新学科的需要，应华罗庚所长之邀，耒到中国科学院数学研究所任副研究员，方程室副主任(主任是吴新谋)，常微分方程组组长。同时兼任北京市数学会主席(1955-1964)、全国青委常委(1956-1979)。
1954年1月起，秦元勋在数学所担负起在我国开辟和发展常微分方程的任务。通过传、帮、带等多种培干形式，在全国迅速建立起常微分方程定性理论和运动稳定性理论的一支队伍。1960年之前的主要工作是引进和开发了“实定性理论”和“运动稳定性理论”两个分支。代表著作有《微分方程所定义的积分曲线》(上、下册)(1959)[3]，华罗庚称他是“中国年青的庞加莱”。出版《运动稳定性的一般问题讲义》(1958)[2]，是堪称我国全面介绍李雅普诺夫的博士论文的第一人。1972年重新调回数学所后，在这个领域的研究又重新得到新的发展。为表彰他在这两个方面所取得的成就，在1978年的全国科学大会上，他的《常微分方程系统研究》荣获重大成果奖。
1960年5月秦元勋因国家任务的需要，奉召调入当时的二机部九院理论部工作，任副主任(主任是邓稼先)、研究员。这是他一生中的一个关键转折点。从此埋名隐姓、销声匿迹。从纯粹数学研究转向完成国家任务的应用研究。学科分工是负责数学、计算和计算机方面的组织管理工作；任务分工是负责抓核武器设计中的威力计算方面的工作。有点类似于美国著名数学家冯.诺伊曼在美国核武器研制中所扮演的角色。在攻克我国第一颗原子弹理论设计过程中，他提出非定态中子输运方程的“人为次临界法”；用拓扑学方法论证球形合成的块数；提出原子弹威力计算的粗估公式等，并及时地写成百万字的《核装置分析》[5]一书。在我国首颗原子弹爆炸(1964)前夕，由周光召、黄祖洽、秦元勋三人签字的备忘录直送中央专委，“保证成功概率超过99％”。他远见卓识、及时地向国家提出建议研制109丙机和J-501机这两台计算机的任务，有力地支持我国首颗氢弹的研制过关，对氢弹威力计算的误差作出整体估计等，并亲临第一颗氢弹试验(1967)的现场，他一人在现场代表理论部在一张保证理论设计正确的保证书上签字。故他是我国两弹(原子弹、氢弹)突破中名副其实的功臣，是我国核事业的开拓者之一。《原子弹氢弹设计原理中的物理力学数学理论问题》荣获1982年度国家自然科学一等奖，秦元勋是荣誉证书(#100019)上9名列名者之一，其顺序是彭桓武、邓稼先、周光召、于敏、周毓麟、黄祖洽、秦元勋、江泽培、何桂莲。
1967年氢弹试验成功后，当时全国的形势是“文化大革命”运动已进入了第两年。1968年他受到冲击和批判，1969年底被清理下放至河南上蔡的“五七”干校，边劳动边接受批判直至1972年中美关系解冻。在干校劳动期间是不允许读专业书和进行科学研究的，但他的科学头脑闲不住：如当炊事员在食堂烧火时，思考如何使有限的物质燃烧而获得最大的有效能量问题；秋收割麦时，受到抓住根部去割就可以割得很干净、一点不漏的启迪，联想到极限环个数若从复域里去抓，就可能不会有漏掉的问题，这就产生后耒在“复定性理论”研究中，提出的“有根定理”、“强有根定理”；坐在汽车火车上时，就想起爱因斯坦的时空相对论，他引入所谓“上蔡对称原理”(即时空对称理论)，避开“光速不变”的假定。趁监管人员不严之时私底下写成《空间和时间》一书的初稿。
1972年是秦元勋一生中又一个不平凡年。尼克松总统访华，随之美籍中国学者访问团和参观团来中国大陆，点名要会见秦元勋，这样他才有机会提前结束干校生活，调回北京再度进中国科学院数学研究所工作。从此，他在微分方程、应用数学、计算物理、计算数学、相对论、人工智能、经济数学等方面全面开花、喜获成果。1973年正式出版《空间和时间》[6]小册子。1975年提出了常微分方程的《近似解析解》的新分支。1976年中国科学院批准成立“应用数学推广办公室”，他追随华罗庚耒组建，出任“应推办”的“副主任”。1977年首次提出有中国特色的《计算物理》新学科。1979年他的研究生史松龄在他指导下，取得常微分方程二次系统极限环的个数大於等於4的轰动世界的新结果。1979年他利用计算机的符号运算，开创常微分方程的计算机推导公式的先河，实属“人工智能”的范畴。1980年中国科学院批准成立“应用数学研究所”，他出任“副所长”(所长是华罗庚)、兼任微分方程与计算物理研究室主任。1981年开创常微分方程的《复域定性理论》的新分支。.1981年由他发起组织并在长沙成立“中国人工智能学会”，出任首届理事长(1981-1987)。1982年由他发起组织并在北京成立“中国计算物理学会”，出任首届理事长(1982-1987)、续任理事长(1987-1992)、荣誉理事长(1992-1997)。1983年7月至1984年3月出任应用数学所执行副所长。1985年7月至1986年6月出任黄河大学首任校长。1987年8月至1994年在美国佛罗里达(Florida)大学任客座教授，并在1993年在应用数学所内办理了“离休”手续。
1987年又是秦元勋人生命运中的一个转折年，他从中国耒到美国，使他的余生在美国度过。他从14岁就喜欢爱因斯坦的《相对论》，50多年的酷爱达到痴迷程度，70年代的一本小册子曾引起一场辩论，到了美国后更可潜心钻研，把主要精力致力於完成他在“时间、空间、质量”三者统一的研究上，在1993年佛罗里达大学为他庆贺70寿辰而召开的学术会议上，他正式提出一种《相对论性的绝对论》的新理论，之后又称为《时间、空间和运动质量的相对性的绝对理论》，简称“三一理论”(Trinity Theory)。1999年应邀到弗吉尼亚理工大学作报告时，正式命名为《三一理论--后相对论期间的时空质理论》。80多岁的古稀老人仍在致致不倦地完善他创立的理论。
1980年前后，中国的改革开放政策，使秦元勋如鱼得水，积蓄的能量可充分释放。对内，可广招研究生，培养科技人才。自1978年我国恢复研究生招考以来，他一共培养了23名硕士生、6名博士生、9名进修教师，还亲自动手编写了不少科普书籍[10][12][14][16]，到处作科普报告。对外，可走出去请进耒，开展国际交流与合作。他先后出访过美国、英国、法国、德国、前苏联、匈牙利、罗马尼亚等国。1987年8月24日开始到美国佛罗里达大学去讲学、任客座教授。1988年3月21日参加俄亥俄大学内召开的国际微分方程会议。之后顺访了玛丽埃塔学院，在该校四个系先后作了不同的学术报告，轰动全校。经四个系推荐、校长赞成、校董事会通过，一致决议在该院5月8日举行的第151次毕业典礼上，由该学院院长亲自授于秦元勋“荣誉科学博士”学位证书。这是该校历史上第一次授给一个中国人这种荣誉学位。
最后，还需再补充秦元勋在社会、学术团体等兼职的情况，除了已在上述文中提到过的之外，还出任过国家科学技术委员会数学组成员(1981-1987)；中国数学会理事、中国核学会常务理事、中国力学会会员、中国天文学会会员、中国自动化学会会员；“数学学报”责任编委(1954-1960)、“应用数学学报”编委(1977-1990)、“应用数学与力学学报”编委(1978-)、“计算物理学报”主编(1984-1992)、“计算物理丛书”主编(1989-1997)；还担任美国“计算物理”杂志的编委(1983-1994)、英国爱丁堡皇家学会的“Proceedings A”杂志的顾问编委(1984-1988)；此外还兼任过河南省数学所名誉所长、华北任丘油田顾问和一些院校的名誉教授等等。

秦元勋的主要数学工作成果如下所述：
1.常微分方程理论与应用
秦元勋在1954年1月调入数学所后，选定了两个重点方向作为突破口：一个是庞加莱的“微分方程所定义的积分曲线”，它是微分方程定性理论或几何理论的经典之作。另一个是李雅普诺夫在1892年发表的“运动稳定性的一般问题”的博士论文，它是微分方程运动稳定性理论的基础。目的是通过引进和开发，在中国开创这两个新学科。他采用了一套独创的孵化器式的快速培养骨干的办法，利用数学所向全国开放的特点，开办了三次全国性的学习班。为我国学者进入这两个领域开展研究奠定了良好的基础，同时又在“奇点”和“极限环”两个主题上迅速取得一批世界水平的研究成果。

1)“实域定性理论”
1955年，秦元勋第一次给出二次系统（）有一个极限环的具体类型：
（）
在条件 下存在惟一的极限环：。这是迄今为止，对（）有己知的惟一有表达式的情形。

1956年，秦元勋在《数学学报》上分三期连续刊登，发表他提出的“常微分方程的区域分析理论”。对复杂的非线性系统用分区线性逼近求解，而且还可以大致确定极限环的位置。尽管有些数学家认为它不严格，但却受到物理学家、力学家们的欢迎，认为它很实用，能解决实际问题。
1957年，秦元勋的研究生董金柱在极限环的相对位置方面证明了：对于（），如果两极限环成串，则同向旋转；如果不成串，则反向旋转。在平面上只有顺时针和反时针两种旋转方向，因此，最多存在在两串极限环。并由此得到：

其中和为两串极限环的数目。
1958年，秦元勋和蒲富全提出一套由高阶焦点跳出一族相套的极限环的方法，具体提供了在奇点附近构造出具有三个极限环存在的例子。

1979年．《光明日报》2月10日头版头条首次公开报到研究生史松龄在其导师秦元勋的指导下，在常微分方程方面推翻前苏联莫斯科大学校长彼得罗夫斯基N(2)=3的结果的消息，给国际数学界带来震惊。史松龄在秦、董、蒲三人的工作基础上得到了：的例子。

1979年，秦元勋开创了常微分方程的计算机公式推导工作，与刘尊全、秦朝斌合作，对二次微分系统中十分复杂的中心焦点判别公式，通过计算机的符号运算加以实现了。发现前苏联科学院院士巴乌金的著名结果有一个关键性的符号错误，纠正其错误后首次得到正确的全部参数的二次微分方程系统的判据.

1979年，秦元勋、史松龄、蔡燧林在不同的条件下也证明得到的结果。

1982年，秦元勋、索光俭、杜星福在减弱上面的条件下，也得到有的结论，并由华苏给出具体系数的例子予以实现。

至此可以说，在实域中，关于（）极限环的最大数目的下界的结果巳经得到，但是关于（）极限环的最大数目的上界问题则仍未解决。秦元勋认为这一任务将由复域定性理论去完成。

2)“运动稳定性理论”
1956年开始，秦元勋在国内首先开始了运动稳定性理论的研究，并在1958年正式出版《运动稳定性的一般问题讲义》[2]一书，同年举办讲习班讲授此书。以后他提出微分差分方程与微分方程稳定性的等价问题，同时他带领王联、王慕秋、刘永清、蔡燧林等人开展运动稳定性方面关于具有时滞的系统以及大系统分解为子系统的创新研究，他是大系统分解理论的先行者。

1955年，钱学森从美国回到中国，在中国科学院力学所作学术报告，提出一个“火箭燃烧的不稳定性”这个尚未彻底解决的难道。秦元勋去听这个报告后，就引出一个带有“时滞”的微分差分方程的运动稳定性问题。
火箭燃烧满足的微分差分方程是：

秦元勋证明出：当时滞 满足下列一个充分条件

时，则这个系统的稳定性与无时滞的系统：

时一样。
这一成果曾由钱学森推荐作为中国向1960年在莫斯科举行的第一届国际自动化会议的4篇论文之一，并被译成俄文在苏联出版。在此文工作的基础上，他与刘永清、王联等人一道在理论上加以完善和发展，终于在1963年由科学出版社出版了《带有时滞的动力系统的运动稳定性》[4]的专著。20年后此书有改版的机会，除保留原版的基本内容外，增加了大量的新结果，有力地推动国内这一领域的研究发展。

1959年，秦元勋参加由北京大学朱照宣教授主持的飞机自动驾驶仪设计研究组的工作，将物理分解原理提升为数学分解原则，提出了运动稳定性理论中的方程组分解问题。他与王慕秋、刘永清等人开展大系统稳定性的分解理论的研究工作，而国际上则在7年之后，Bailey于1966年才提出类似的稳定性分解概念。有关这方面研究的结果都写入1981年科学出版社出版的《运动稳定性理论与应用》[11]之中。此后刘永清又将其扩展，理论联系实际地发展这一领域。所有成果都反映在从1988年开始出版的刘永清等人编著的《大型动力系统的理论与应用》[21]的系列丛书之中。

3)“复域上微分方程的定性理论”
希尔伯特第十六问题是常微分方程定性理论中最著名的一个未解决的重大问题， 秦元勋在20世纪50年代研究微分方程定性理论时就意识到系统的极限环问题与代数学中多项‏式根的问题很相似，解决这类问题的恰当的数域应为复数域。他从1981年起在国内 举办复定性理论的系列讲座，在国内外学术会议上报告其研究成果，并在1985年由西北大学出版社出版了《常微分方程定义的积分曲面》[15]一书。

具体的成果有：
(1)有根定理：受到干校劳动时“割麦抓根”的启迪，秦元勋意识到研究极限环的个数问题应到复数域中去抓“根”。他发现并证明复域上n次多项式系统

除对应于有限奇点的平衡解外，所有其它的解曲面在复投影空间P2C中的闭包均包含某（些）无穷远奇点（庞加莱定义下）， 即有根定理（Rooted Theorem）。 他还在不同条件下给出了有根定理的更强的表述（强有根定理）。他希望通过该定理将实平面上极限环问题转化为对相应复系统的积分曲面族在根（奇点）附近性质的研究。
(2)复焦点系统：他指出所有的奇点均是焦点的系统具通有(Universal)性，证明
了这类系统的每一有限远奇点都局部存在两张孤立的极限积分曲面；每一无穷远奇点也都局部存在两张孤立的极限积分曲面，但其中一张为所有无穷远奇点共有，即∞面。这 张孤立极限积分曲面在方程接受的Lie 变换群作用下应是不变的。他还尝试给出了这类系统首次积分的一种形式

其中为常数，且有

这与代数方程的通解

很类似。他也给出了这类系统所接受的Lie变换群的形式‏。
(3)关联性： 注意到复系统通过实平面极限环的积分曲面也应是孤立的极限积分曲面，
并根据有根定理，再经一定的拓扑考虑，他给出以下结果：如果实系统 到复域的自然扩展是一个焦点系统，则实系统 的极限环必是焦点系统的 张孤立极限积分曲面与实平面的部分交线。

当然，上述的几个重要结论（如关联性、首次积分的表示等）的证明尚有值得商榷之处，需进一步严格推敲。尽管如此，秦元勋的工作已推动了后人关于微分方程解析理论、复定性理论及密切相关的微分方程的群论、可积性理论的深入研究。

4)“近似解析解”
1972年，秦元勋回到数学所后整理了过去在实际工作中的经验，提出了“常微分方程的近似解析解”的理论。这是扦在微分方程定性理论和微分方程数值解之间的一个新分支。他认为这个新分支应满足三个基本要求(即定义)：
(1)有解析形式的解，一般应含有主要参数，显示结果与参数之间的解析关系。
(2)定性要正确，应反映物理现象的定性特征。
(3)定量要基本正确，数量级应在允许的误差范围之内。
并进一步提出构造近似解析解的“五步法”：
(1)量纲分析与相似理论；(2)定性分析与全局图象；(3)量级分析与粗估公式；
(4)数值分析与典型特例；(5)近似解析解的构造。
至于如何针对具体的实际问题而应用这“五步法”，具体的例证可见秦元勋在1975，1978年相继发表的《常微分方程近似解析解的理论与实践》文章。最成功的事例是他为我国第一颗原子弹和氢弹的威力计算所提供的粗估公式。

5)“人工智能”
秦元勋认为“人工智能是研究如何应用电脑，部分地模拟、代替，甚至超过人的部分的、巳知其规律的脑力劳动”。在1979年，他首先提出利用计算机的符号运算，开创常微分方程的计算机推导公式的先河。对二次微分系统中十分复杂的中心焦点判别公式，设计和编制一套计算机程序“DEPS”，通过计算机的符号运算加以实现了。并发现前苏联科学院院士巴乌金的著名结果有一个关键性的符号错误，纠正其错误后首次得到正确的全部参数的二次微分方程系统的判据，首次取得了成功。进一步又由研究生秦进水将由秦元勋和蒲富全在1958年提出的“由高阶焦点跳出一族相套的极限环的方法”编成“DELCPS”程序，在计算机上加以实现。开展复域的定性研究后，复系统的积分曲面族是四维实空间中的二维曲面族，如果计算这些二维曲面呢？他提出“四维空间中的二维曲面的计算机处理法”，有力地推动复域定性研究的开展。
1981年，由秦元勋发起组织和推动，在长沙成立“中国人工智能学会”，他出任首届理事长(1981-1987)。

2.计算物理学
秦元勋在1960年调入国防科研单位，负责大量使用计算机解决实际问题。完成国科研任务后，70年代他总结提升，去掉保密部分，提出并推动“计算物理学”在中国的发展。计算物理学是伴随电子计算机的出现和发展而逐步形成的一门新兴的边缘学科，它是以电子计算机为工具，应用数学的方法，解决物理问题的应用科学，它是物理、数学、计算机三者相结合的产物，是介于传统的理论物理学和实验物理学之间的一个新分支。计算物理学的出发点是物理问题，计算机是工具，计算方法和技巧是手段，归宿点是为了解决物理问题。他对计算物理学的起源与形成、性质与任务、所用方法的特点、以及国内外发展状况作了充分的阐述。尤其是对计算物理学的含义有独特的见解，具体地说：从原则上讲，凡是局部瞬时的物理规律为已知或已被假设，那么要想得到大范围长时间的物理现象的发展过程都可以借助于计算机这一先进工具耒实现。即由局部关系联合成大范围关系依赖于计算机的大存贮量，由瞬时规律发展为长时过程依赖于计算机的高速度。因此在大存贮和快速度的基础上，计算机便能对物理过程起到一种数值模拟的作用。形象化地说：计算物理学是“用现代化计算机武装起来的”《理论物理学》和“计算机打印纸上”的《实验物理学》。
秦元勋写成我国在该领域内的第一本专著《计算物理学》[13]，于1984年由四川科技出版社正式出版。在秦元勋的组织和推动下，1982年8月在北京成立中国的“计算物理学会”，出任首届理事长。1984年创刊“计算物理学报”杂志，出任主编；1989年出版“计算物理丛书”，出任丛书主编。至此，计算物理学科在中国大地上蓬勃地发展开来，他的功劳是不可磨灭的！
他本人在计算物理、计算数学和微分方程数值解方面的贡献，有其特殊价值的工作可略举一二：如为“两弹”(原子弹、氢弹)过关提出的“人为次临界法”和“天然差分法”，为航天研究提出的“三体问题的显式能量守恒格式”等，它不同于一般计算数学设计的计算方法，而是紧密地与被研究的物理对象联系在一起。他认为计算物理学是一门能解决实际问题的应用学科，故他领导和组织研究生们在解决“渤海潮汐计算”、“黄河土石坝渗流”、“犁面曲面设计”、“穿甲弹自段破片”、“任丘油芷模拟”、“孤子形成过程”、“耗散结构模拟”、“非线性弹性共振”、“星云密度波漩涡星云不稳定性”、“超新星爆发机制”，等等方面，广泛地应用和发展这门学科。

1)“人为次临界法”
这是秦元勋在1961年为解决核材料被压缩到超高临界后能量释放过程的总体计算提出的方法(见[19])。考虑一维球对称情形下，在Euler坐标系中的非定态的单群中子输运方程.对差分方法数值求解时所形成封闭的代数方程组, 秦元勋给出了保证迭代的收敛条件为：
。
这里有一个明显的物理解释：一个高超临界的系统，在时间步长小于一定值的条件下(即 )，可变成一个带源的人为次临界系统。用迭代方法求解就相当于将其分布发展到定态解的过程，因而迭代求解是收敛的。故此方法命名为“人为次临界法”。

2)“天然差分方法”
秦元勋对多维可压缩流体的“天然差分方法”完整地提出是在1967年，其基本思想是从物理模型直接建立差分方程，故称为“天然(或原始)差分”，而不是常规的从物理模型通过“原始差分”变成数学模型(微分方程)，再经过“再次差分”变成离散模型(差分方程)。这种做法的优越性在于每一项都有极强的物理背景，便于对每一步计算结果的分析。此方法突出三个关键字：“活”(可变邻域的选定)、“精”(对称化)、“快”(辐射扩散计算的整体迭代)，有一个独特的创新点是提出一种“质点带壳”或“有心带壳”的模式，即“质团”的概念。意思是每个质点可以单独行动，解决了混合介质的问题；每个质点又带着一个“壳”运动，这样就有体积，可计算密度、温度、压强等物理量，分界线或分界面也明确了，故又俗称“质团法”。详细的数学表达见[19]，应该充分肯定秦元勋在当时提出其方法的思想是很新颖，很前瞻的，对以后的二维流体力学计算方法的发展很有影响。

3) “三体问题的显式能量守恒格式”
这是秦元勋1989年正式发表在美国的“计算物理杂志”(J.Comp.Phys.)上的一篇学术研究文章。主要目的为数值地求解描述三体运动的18个一阶常微分方程组，巧妙地充分地利用其自身内在满足的10个守恒关系式，尤其是总能量(动能和势能)守恒，提出了单步、显式、总能量保持守恒的差分格式，确保数值解的精度和正确性。

3. 应用数学
秦元勋在20世纪70年代协同华罗庚等教授负责建立中国科学院应用数学研究所。对应用数学与纯粹数学的区别有独特的见解，从应用数学的四个方面的特征去作精辟的阐述，并对应用数学的应用作出过特殊的贡献，在这里仅列举有特色的“犁体曲面设计”、“经济数学模型”、“三一理论--后相对论时期的时空质理论”为例子。

1)“应用数学的四大特征”
应用数学与纯粹数学同是数学的分支学科，有许多共同的特征：例如研究的对象同为数与形，研究的方法同为推理与运算等等。由于研究的侧重点不同，又有不同的特征。概括为四个方面：
(1)问题的来源：纯粹数学着重从数学学科本身发展的需要去提出问题；而应用数学着重于从数学外部来的数学问题。
(2)解决的方法：纯粹数学对问题的解决要求严格的逻辑推理和运算的过程；而应用数学却允许不完全严格的推理和运算去求解数学问题。
(3)成果的肯定：纯粹数学成果的肯定是依赖于每一个推理和运算的严格的逻辑性步骤来保证的；而应用数学的成果肯定是由数学外部的十分残酷的现实检验来决定的。
(4)进一步发展的方向：纯粹数分发展的方向是由数学学科本身的发展需要来决定的；而应用数学的发展是不断追求来自数学外部问题，去发展可以解决这些问题的解法。
秦元勋将自已的观点撰写成文，先发表在钱伟长主编的《应用数学与力学》杂志十周年特刊上，后又在美国麻省理工学院数学系和美国国立应用数学研究所发表过演讲，很受重视。

2)“犁体曲面设计”
在1978年3月在北京召开全国科学大会期间，贵州山地农机研究所所长兼总工程师，贵州省力学会会长，耕作力学的开拓者杜家瑶应邀在中科院参加两次学术交流活动，作了“倾斜动线形成犁面的数学模型与耕作力学”的报告，引起数学家的共鸣。秦元勋一合即拍，就共同组成“倾斜动线形成犁体曲面的研究”课题组，立即指派两名攻读计算物理专业的研究生吴声昌和常谦顺参加工作。利用“连接两片非展直纹面的待定曲面族参数法”，将适用于高速或常速耕作的通用型和翻垡型犁体曲面，统一为8个参数定量描述的曲面方程，即建立了犁面设计的数学模型。采用计算物理的手段，首次实现了耕作时土壤沿犁面运动的计算机数值模拟，从而可直观形象地绘制出土粒在犁面上运动的“等时线族”，它与理论土迹线族交叉形成网状图象，可直观地看出犁耕中土壤的松碎及翻转性能。并进一步计算犁耕功率消耗，建立其动力学模型，对参数进行优化设计。这样为我国犁体设计提供一套比较完整的有理论依据的设计方法[25]。经过实际测试表明这种 “有理设计”的犁体节能效果显著，也显示出应用数学的威力。

3)“经济数学模型”
秦元勋根据陈云副主席讲的：“人不但要吃饭，而且要吃好；吃了饭要建设，不建设也不行”的话。提出一个“一要吃饭，二要建设”的数学模型。利用带可调参数的微分方程组去模拟宏观经济的复杂性，进行了有启发的探讨[19]。可以看到应用数学在国民经济中能起到的作用。

4)“三一理论”
秦元勋从1937年(当时14岁)开始读万有文库中爱因斯坦写的《相对论浅释》，就以学懂爱因斯坦的相对论为人生的目标。在大学三年级时苏步青教授在几何课中讲的闵可夫斯基几何和微分几何对他学习《相对论》起到很大的作用。1960年调入国防科研单位，就是运用爱因斯坦提出质能关系研制我国的核武器。1970年以后普及相对论。90年代继续研究相对论。他认为时间、空间与质量是物理学的三个基本概念，一直致力于三者的统一研究上。他发现古典物理学原来是建立在伽里略的绝对时间和牛顿的绝对空间基础上的，时间与空间是分开的，没有与质量相联系；现代物理学是建立在爱因斯坦的时空相对论的基础上的。90年代初，他证明了一个在洛伦兹变换下的新的不变量--最小总运动质量。在此基础上建立一个新的分支，提出了“时空质三合一而以质量为主的理论”，简称“三一理论”，祥见[20]，当然这种理论要接受实践的检验。

最后，还必须特别提及秦元勋从40年代起就从事科学普及工作，亲自动手写科普书，亲自去作科普报告。他认为：一个科学普及工作者不仅要真正懂得要普及学科的实质，还要善于通过自己的语言深入浅出地让被普及者听懂，掌握其正确的东西。因此，科普工作者必
须先对有关方面的学科作创造性的科学研究，这样才能做好科学普及工作。

原始文献
[1] 秦元勋， 几何学通论，香港三联书店(第一版)，1949；上海商务印书馆(第二版)，1959；湖南科学技术出版社(第三版)，1979.
[2] 秦元勋， 运动稳定性的一般问题讲义，科学出版社，1958.
[3] 秦元勋， 微分方程所定义的积分曲线(上)(下)，科学出版社，1959.
[4] 秦元勋等， 带有时滞的动力系统的运动稳定性(第一版)，科学出版社，1963；(第二版)，科学出版社，1989.
[5] 秦元勋， 核装置分析，核武器研究所，内部油印，1965.6.
[6] 秦元勋， 空间与时间，科学出版社，1973.
[7] 秦元勋， 从算术到常微分方程，湖南科学技术出版社，1978.
[8] 秦元勋等， 倾斜动线形成斜体曲面的研究，科技文献出版社，1978.
[9] 秦元勋， 空间、时间和运动着的物质，贵州人民出版社，1979.
[10] 秦元勋， 无限的数学，北京出版社，1979.
[11] 秦元勋等， 运动稳定性理论与应用，科学出版社，1981.
[12] 秦元勋主编， 初等代数，贵州人民出版社，1983.
[13] 秦元勋主编著， 计算物理学，四川科学技术出版社，1984.
[14] 秦元勋主编， 初等几何(上)(下)，贵州人民出版社，1985.
[15] 秦元勋， 常微分方程所定义的积分曲面，西北大学出版社，1985.
[16] 秦元勋， 常微分方程概貌，上海科学技术文献出版社，1989.
[17] 秦元勋等， 计算物理概论，湖南科学技术出版社，1991.
[18] 秦元勋主编，常微分方程青年论文专辑 ，科学出版社，1991.
[19] 秦元勋， 科学探索—秦元勋文选，北京教育科学出版社，1994.
[20] 秦元勋， 时间、空间和运动着的物质，贵州人民出版社，2000.

研究文献
[21] 刘永清、宋中昆著，大型动力系统的理论与应用(卷1)，华南工学院出版社，1988.
[22] 程民德主编， 中国现代数学家传(第一卷)，江苏教育出版社，1994. pp457-471。
[23] 冉铁(记者)， “中国核事业的开拓者—秦元勋”，美国《新世界时报》(NEW MORLD TIMES)，1998.8.21。
[24] 杜松竹、张锁春著， 中国现代数学家秦元勋，贵州科技出版社，2000.
[25] 杜家瑶著，耕作力学研究—杜家瑶文选，贵州省力学学会、贵州省山地农业机械研究所，2003。